Опционы. Разработка, оптимизация и тестирование торговых стратегий - Вадим Цудикман

Примером применения технологии рекуррентных вычислений служит вычисление исторической волатильности. Текущее значение исторической волатильности используется при вычислении критериев с интегрированием платежной функции по функции плотности вероятности распределения цены базового актива. Типичными критериями такого типа являются математическое ожидание прибыли и вероятность получения прибыли, рассчитываемые на основе логнормального распределения. В процессе бэктестинга стратегий критерии вычисляются для каждого момента времени t. Следовательно, необходимо на каждый момент времени иметь соответствующее значение исторической волатильности НV(t). Наиболее эффективным представляется вариант, когда все значения исторических волатильностей вычисляются до старта прогонки для всех базовых активов и всех моментов времени. При этом в силу простоты формулы исторической волатильности расчеты можно производить рекуррентно по времени. Если ненормированная по времени историческая волатильность задается выражением:

где С(t) – цена закрытия t-го дня истории, N – длина периода истории, используемого для расчета волатильности, то историческая волатильность, соответствующая следующему дню истории, вычисляется как:

При этом нетрудно видеть, что объем вычислений при достаточной длине исторической базы практически не зависит от N. Аналогичные рассуждения справедливы для любой формулы волатильности вида с обратимой функцией F. Применение рекуррентных вычислений позволяет рассчитывать значение функции для каждого следующего дня на основе предыдущего значения этой же функции. Это существенно сокращает количество вычислений.

Данные, поступающие даже из самых надежных источников, могут оказаться искаженными. Помимо примитивных ошибок, связанных с программными сбоями или техническими проблемами (например, десятичная точка перепутана с запятой, неучтенное переименование тиккера, пропущенная информация о сплите, и т. п.), встречаются систематические ошибки, связанные с неверными и пропущенными котировками. Серьезную проблему представляет несинхронность данных о цене базового актива и соответствующих ему опционов. Эта проблема может быть обусловлена, к примеру, тем, что многие инструменты торгуются на разных биржевых площадках и электронных системах. Моделировать торговлю на основе таких данных чревато серьезными искажениями результатов.

Проблему недостоверных данных необходимо решать путем их выявления и дальнейшего исправления либо фильтрации. Процедуры выявления необходимо применять ко всем поступающим в базу новым ценам и котировкам спроса и предложения. Существуют два подхода к выявлению искаженных данных: тесты на наличие арбитражных ситуаций и исследование поверхностей подразумеваемой волатильности.

В основе тестов на наличие арбитражных ситуаций находится теория ценообразования опционов и условие паритета опционных цен. Для европейских опционов с одинаковой датой экспирации паритет цен опционов пут и колл без учета дивидендов имеет вид равенства:

где N – цена опциона колл, P – цена опциона пут, X – страйк опционов, S – текущая цена базового актива, r – безрисковая ставка, t – время до экспирации. Понятие паритета основывается на принципе невозможности возникновения на эффективном рынке арбитражных ситуаций. Другими словами, не может существовать финансового инструмента или совокупности инструментов, с помощью которых можно получить без риска доходность, превышающую безрисковую ставку. Это касается любых опционных комбинаций.

Если выявляется нарушение паритета, то это говорит о том, что цены опционов ошибочны либо существует учтенная в них рынком, но неизвестная проверочному алгоритму информация – например, выплата дивидендов. Ошибочной может быть цена одного из опционов либо обоих. В последнем случае необходимо установить, цена которого из опционов искажена. Для этого следует каждый из двух опционов проверить в паре с другим опционом, успешно прошедшим тест на паритет. Другой опцион будет неизбежно иметь другой страйк либо другую дату истечения. Выявив опцион с искаженной ценой, его следует исключить из базы данных либо исправить цену путем решения уравнения паритета (цена искаженного опциона берется как неизвестное, а цена правильного опциона является константой).

Существенным недостатком данного метода является то, что он применим только для европейских опционов. Для американских опционов формула паритета имеет вид неравенства:

Из формулы следует, что для американских опционов не существует точного значения паритета. Алгоритм тестирования может установить лишь факт попадания разности цен опционов кол и пут в определенный диапазон. Выход за рамки диапазона означает нарушение паритета, однако попадание в диапазон еще не означает, что искажение цены полностью исключается. Цена одного из опционов (либо обоих) может быть неправильной, но не настолько, чтобы выйти за рамки диапазона. Впрочем, и для европейских опционов существует возможность искажения цены при соблюдении паритета. Например, если уменьшить цену пута на некую величину и при этом увеличить цену колла на такую же величину, то условие паритета будет соблюдено, несмотря на то что цены обоих опционов искажены.

Другой метод выявления искаженных данных основывается на расчетах подразумеваемой волатильности. Для этого необходимо вычислить значения подразумеваемой волатильности для всех опционов, относящихся к определенному базовому активу. В силу целого ряда причин эти значения не будут совпадать. Вместе с тем их расхождения не являются случайными. В частности, зависимость подразумеваемой волатильности от страйка в большинстве случаев имеет форму улыбки (она так и называется «улыбкой волатильности») – наименьшее значение соответствует страйку, наиболее близкому к текущей цене базового актива, а по мере удаления страйка в обе стороны (глубоко «в деньгах» и глубоко «вне денег») волатильность возрастает. Могут быть и другие формы зависимости. Однако, какова ни была бы форма зависимости, она представляет собой более-менее гладкую кривую (либо, в отдельных случаях, прямую линию). Если же одна из точек (то есть одно из значений волатильности) выпадает из общего ряда и находится далеко от того места на кривой, где должна находиться, это с большой вероятностью указывает на искажение цены опциона, соответствующего данному страйку.