Опционы. Разработка, оптимизация и тестирование торговых стратегий - Вадим Цудикман

Хотя значение коэффициента наклона линии регрессии (0,89) близко к 1, оно статистически достоверно отличается от 1 на очень высоком уровне значимости (таблица 4.4.2). Следовательно, использование вогнутой функции для распределения капитала приводит к созданию более консервативного портфеля (с меньшим потенциалом прибыльности и меньшим риском убытков).

В предыдущем разделе мы сравнили прибыльность двух торговых стратегий, отличающихся формой весовой функции, используемой для распределения капитала. Теперь мы сравним те же стратегии по степени концентрированности капитала. Ранее мы описали методику расчета индекса концентрированности портфеля и применили ее для сравнения различных показателей, используемых при распределении капитала (рис. 4.4.7). Эту же методику мы применим для целей настоящего анализа: рассчитаем значения индекса концентрированности для каждого из 6448 портфелей, сформированных на исследуемом историческом периоде для каждой из двух весовых функций.

Для того чтобы сравнить степень концентрированности капитала при формировании портфеля с помощью двух трансформаций весовой функции, мы построили частотное распределение индекса концентрированности. Ранее мы продемонстрировали, что в тех случаях, когда портфели формировались с помощью нетрансформированной весовой функции (основанной на том же показателе – «математическое ожидание прибыли») распределение индекса концентрированности было не нормальным и сильно смещенным в область низких значений индекса (левый средний график рис. 4.4.7). При использовании выпуклого варианта трансформированной весовой функции ненормальность распределения усилилась еще больше (рис. 4.4.10). С наибольшей частотой (>16 % случаев) половина капитала была сконцентрирована всего в 1 % комбинаций. Портфели, в которых половина капитала была распределена в более 15 % комбинаций, оказались еще более редкими (менее 2 % случаев).

Использование вогнутой весовой функции для распределения капитала внутри портфеля изменило принципиальным образом форму распределения индекса концентрированности капитала (сравни левый средний график рис. 4.4.7 и рис. 4.4.10). В этом случае трансформация весовой функции привела к почти равномерному распределению индекса концентрированности. С частотой приблизительно равной 4–6 % случаев половина капитала инвестировалась в 1 % комбинаций, 2 % комбинаций и так далее до порядка 18 % комбинаций.

Таким образом, мы показали, что распределение капитала с помощью выпуклой весовой функции приводит к созданию высококонцентрированных портфелей, в которых относительно большая доля капитала инвестируется в малое количество комбинаций. С другой стороны, использование вогнутой весовой функции способствует построению портфелей с гораздо более равномерным распределением капитала. Поскольку степень концентрированности капитала отражает уровень диверсификации портфеля, можно утверждать, что распределение капитала с помощью выпуклой функции обеспечивает создание менее диверсифицированных и более агрессивных портфелей, а применение вогнутой функции приводит к формированию более диверсифицированных и более консервативных портфелей.

Многомерная система распределения капитала внутри портфеля основывается на одновременном использовании нескольких показателей, выражающих оценки доходности и риска. Введение дополнительных показателей может способствовать созданию более сбалансированной системы распределения капитала с точки зрения оптимизации соотношения ожидаемой доходности и прогнозируемых рисков. При использовании многомерной системы появляется дополнительная проблема, не возникавшая при распределении капитала на основе единственного показателя, – необходимость выбора одного портфеля из множества вариантов, каждый из которых может считаться оптимальным. В разделе 4.2.1 мы перечислили основные подходы к решению этой задачи. Здесь мы продемонстрируем применение методики мультипликативной свертки нескольких показателей.

Рассмотрим пример распределения капитала по двум показателям – математическому ожиданию прибыли и VaR. Продемонстрируем расчет мультипликативной свертки этих показателей и вычисление значений весовой функции на основе данных, приведенных в таблице 4.3.2. Поскольку эти два показателя имеют различный масштаб величин, возникает необходимость в нормализации их значений. Существует несколько способов нормализации. Мы воспользуемся формулой, позволяющей привести значения любого показателя к интервалу от нуля до единицы:

В таблице 4.5.1 приведены оригинальные значения показателя EPLN (математическое ожидание прибыли, рассчитанное на основе логнормального распределения) и VaR (взятые из таблицы 4.3.2) и их нормализованные значения, рассчитанные с помощью формулы 4.5.1. Приведем пример расчета нормализованного значения показателя EPLN для акции AAPL. Максимальное и минимальное значения EPLN составляют 0,0191 и 0,0003 соответственно. Поскольку оригинальное значение EPLN для AAPL составляет 0,0099, то, используя формулу 4.5.1, можно рассчитать нормализованное значение, как:

Поскольку показатель EPLN выражает ожидаемую прибыль, а VaR – убыток, то мультипликативная свертка рассчитывается как отношение EPLN к VaR. В этой связи возникает проблема с нулевыми значениями нормализованных показателей. Разрешить эту проблему можно путем замены нулевых значений значениями, рассчитанными по следующей формуле:

где φ(Сmin + 1) означает величину показателя со следующим после минимального значением. Например, по показателю EPLN нормализованная функция имеет нулевое значение для акции AA. Используя формулу 4.5.2 и учитывая, что акцией со следующим по величине показателем является V[φ(Сmin + 1) = 0,0007], можем вычислить значение нормализованного показателя для AA: (0,0003/0,0007) × 0,021 = 0,009.

После того как значения показателей нормализованы и значения свертки вычислены, остается рассчитать вес каждой комбинации в составе портфеля. Это делается с помощью формулы 4.3.5 (результаты расчетов представлены в последнем столбце таблицы 4.5.1).