Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман

Как ни назови это преимущество, но B явно лучше A.

Соперник

Добавим еще одну игральную кость. Внимание, появился новый соперник! Пусть на грани C нанесены числа, указанные на схеме.

C рьяно вызывает на бой B. Кости кидают, и побеждает та, где выпало наибольшее число. Какая из них лучше, B или C? Как и раньше, начертим схему и посмотрим, какая игральная кость имеет больше шансов на победу.

Мы видим, что C выигрывает гораздо чаще, чем B. Вероятность победы C равна 25/36 (около 69 %), в то время как B побеждает с вероятностью 11/36 (около 31 %).

В схватке один на один C лучше B, а B лучше A.

Значит, C лучше всех, верно?

Триумф неудачника

Казалось бы, среди трех игральных костей A слабее всех, а C сильнее всех. Что будет, если C сразится с A? Разумеется, C победит?

Начертим снова схему всех возможностей:

Посмотрите! A лучше C. Игральная кость A выигрывает с вероятностью 21/36 (около 58 %), а C – с вероятностью 15/36 (около 42 %).

Мы пришли к трем ошарашивающим выводам:

– B лучше A;

– C лучше B;

– A лучше C.

Ни одну из игральных костей нельзя назвать «лучшей», и ранжировать их бессмысленно.

Сколько еще рейтингов в нашей жизни лишены смысла?

Другие примеры

Вот еще несколько игральных костей для изучения; эту задачу придумал Брэдли Эфрон, профессор статистики в Стэнфорде.

Сравним четыре игральные кости. Проработайте варианты, когда № 1 противостоит № 2, № 2 противостоит № 3, № 3 противостоит № 4, и № 4 противостоит № 1. Какая игральная кость лучше в каждой схватке? Как вы их проранжируете?

Ответы – в конце главы.

Вы играете в покер? Говоря точнее, вы играете в техасский холдем[200]? Допустим, два человека играют в техасский холдем, и вы украдкой заглянули в их «карманные» карты. Пусть у первого на руках A♠K♥, а у второго 10♦9♦. У кого выше вероятность выиграть? У первого игрока карты большего достоинства, зато у второго игрока больше шансов на стрит[201] и флэш[202].

Нам необходима дополнительная информация о пяти общих картах, лежащих рубашкой вниз. В колоде осталось 48 карт из 52. Нам придется перебрать все варианты, какими могут быть перетасованы эти карты, чтобы выяснить, какие пять карт окажутся на столе и кто из двух игроков победит (или же оба сыграют вничью). Есть около двух миллионов комбинаций по 5 карт из 48 карт[203]. Нам не под силу провести все расчеты самостоятельно, поэтому прибегнем к помощи компьютера. Забейте в поисковик словосочетание «покерный калькулятор», и вы найдете уйму сайтов, где можно провести необходимые вычисления.

С помощью покерного калькулятора мы выясним, что игрок с «карманными» картами A♠K♥ побеждает с вероятностью 58,6 %, игрок с «карманными» картами 10♦9♦ побеждает в 41 % случаев, а 0,4 % остается на ничью.

Вывод: лучше иметь «карманные» карты A♠K♥, чем 10♦9♦.

Теперь ваша очередь. С помощью покерного калькулятора сравните шансы на выигрыш двух игроков со следующими наборами «карманных» карт:

– 10♦9♦ и 2♣2♥.

– 2♣2♥ и A♠K♥.

Дальше попробуйте построить рейтинг трех наборов «карманных» карт: A♠K♥, 10♦9♦ и 2♣2♥. Глава подошла к концу, поэтому вы вот-вот узнаете ответ.

Объявлено медицинское тестирование, диагностирующее наличие или отсутствие некой редкой болезни. Это чрезвычайно надежный тест. Вы принимаете решение пройти его и с ужасом получаете положительный результат. Насколько стоит беспокоиться?

Перевести беспокойство на язык цифр непросто, но в подобных ситуациях нужно сосредоточиться, потому переформулируем вопрос: насколько велика вероятность, что вы действительно подхватили это редкое заболевание?

Для ответа необходимо знать уровень надежности теста, а кроме того, как мы скоро увидим, уровень распространения болезни. Вот эти данные.

Редкая болезнь поразила 0,1 % населения. Состояние здоровья одного человека из тысячи вызывает тревогу.

Тест не идеален, как и всякий медицинский тест. Предположим, он дает верную информацию в 98 % случаев. Таким образом:

– среди 100 здоровых людей 98 человек получают верный отрицательный результат и 2 человека – неверный положительный;

– среди 100 больных людей 98 человек получают верный положительный результат и 2 человека – неверный отрицательный.

Разумеется, мы хотим пройти еще более надежный тест, но предположим, что это единственный возможный способ диагностировать наличие или отсутствие болезни.

Вопрос: если результаты теста положительные, какова вероятность того, что вы больны?