Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман

Второе – относительно Предсказателя. Действительно ли он способен предвидеть поступки другого человека? Ясно, что в целом поведение людей может быть предсказано с большой долей уверенности. Но в нашей игре Предсказатель пытается предугадать выбор одного-единственного индивидуума, а ведь это весьма зыбкая материя. Точность 95 % неправдоподобно высока.

Однако вот что интересно: противоречие не исчезает, даже если Предсказатель прав в 51 % случаев! Аргумент «не оставляйте деньги на столе» по-прежнему не работает. Вот расчет среднего выигрыша:

• Если вы берете только ящик № 2, средний выигрыш составляет 1 000 000 × 0,51 + 0 × 0,49 = 510 000 долларов.

• Если вы берете оба ящика, средний выигрыш составляет 1 000 × 0,51 + 1 001 000 × 0,49 = $491 000 долларов.

Даже если Предсказатель предугадывает ваше решение с точностью 51 %, вам лучше выбрать только ящик № 2! Разница в средних выигрышах на сей раз невелика, поэтому расчеты не вызывают особых эмоций, но выигрышная стратегия остается прежней[234].

Итак, вот два допущения, приводящих к парадоксу:

– Игрок обладает свободой воли;

– Предсказатель предугадывает решение Игрока с высокой точностью.

Иными словами, свобода выбора и уверенное предсказание будущего несовместимы.

Компьютер в роли Игрока

Вообразим, что в роли Игрока – компьютерная программа, а в роли Предсказателя – мы, человеческие существа. По правилам, Игроку запрещено играть в орлянку; таким образом, компьютер не должен совершать случайного выбора[235].

У компьютера есть все те же две возможности: выбрать оба ящика или только ящик № 2. Как он поступит?

Мы можем с легкостью предсказать выбор компьютера. Нам нужно всего лишь сделать копию компьютерной программы, запустить на другом компьютере и следить за ее действиями. Наше предсказание будет идеальным (если компьютер не заглючит). Когда игра начнется, мы убедимся в безошибочности предсказания. Практически без исключений выбор двух ящиков принесет компьютеру тысячу долларов, а выбор ящика № 2 принесет миллион долларов.

Если нас попросят разработать программу для парадокса Ньюкома, наше решение будет кристально ясно. Вот вся программа:

Мы запускаем программу, компьютер каждый раз получает миллион долларов, и мы счастливы.

Нет никакого резона выбирать оба ящика. Действия компьютера полностью предсказуемы (потому что мы имеем дело с машиной, а не с человеком), и выбор двух ящиков всякий раз будет приносить всего лишь 1000 долларов.

Почему противоречие возникает, когда в роли Игрока оказывается человек, и пропадает, когда в роли Игрока выступает компьютер? Парадокс Ньюкома подразумевает свободу воли: никакой Предсказатель не в силах в точности предвидеть наши действия.

На русском языке

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. – М.: Мир, 1965.

2. Харди Г. Г. Апология математика. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

На английском языке

1. Peter Beckmann. A History of π. St. Martin’s Press, third edition, 1976.

Edward B. Burger and Michael Starbird. The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking. Wiley, third edition, 2009.

2. Underwood Dudley. A Budget of Trisections. Springer, 1987.

3. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics. Addison-Wesley Publishing Company, 1963.

4. Martin Gardner. Free will revisited, with a mind-bending prediction paradox Newcomb. Scientific American, 229, July 1973.

5. G. H. Hardy. Mathematician’s Apology. Cambridge University Press, 1940

6. H. E. Huntley. The Divine Proportion. Dover, 1970.

7. Nicholas D. Kazarinoff. Ruler and the Round: Classic Problems in Geometric Constructions. Dover, third edition, 2003.

8. Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World’s Most Astonishing Number. Broadway, 2003.

9. Paul Lockhart. A Mathematician’s Lament: How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form. Bellevue Literary Press, 2009.

10. Eli Maor. e: The Story of a Number. Princeton University Press, 2009.

11. Paul J. Nahin. An Imaginary Tale: The Story of Princeton University Press, 2010.

12. James R. Newman. The World of Mathematics. Simon & Schuster, 1956. This four-volume collection is also available from Dover.

13. Mark Nigrini. Benford’s Law: Applications for Forensic Accounting, Auditing, and Fraud Detection. Wiley, 2012.

14. E. Arthur Robinson and Daniel H. Ullman. A Mathematical Look at Politics. CRC Press, 2010.

15. Edward R. Scheinerman. Mathematics: A Discrete Introduction. Brooks/Cole, third edition, 2012.

16. Eric W. Weisstein. Mathworld – a Wolfram web resource, http://mathworld.wolfram.com/.

На французском языке

M. L. Wantzel. Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compass. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées., 1 (2): 366–372, 1837.