Опционы. Разработка, оптимизация и тестирование торговых стратегий - Вадим Цудикман

Поскольку стоимость портфеля P равна сумме стоимостей входящих в его состав опционов, то зависимость стоимости портфеля от изменений индекса I можно выразить суммой:

где Oi – стоимость i-го опциона, δ – относительное изменение индекса (например, δ = 0,12 означает, что индекс вырос или упал на 12 %), другие символы имеют тот же смысл, что и в предыдущих разделах. Зависимость Ai от I × δ и можно выразить с помощью беты βi, которая представляет собой коэффициент линейной регрессии доходностей базового актива и доходностей индекса. Зная бету, можно приблизительно определить стоимость базового актива при условии, что индекс изменится на заданную величину:

Используя модель Блэка−Шоулза, можно вычислить стоимости всех входящих в портфель опционов при условии, что цены их базовых активов равны значениям, рассчитанным по формуле 3.2.6. Суммируя полученные значения, получаем стоимость портфеля, соответствующую формуле 3.2.5. Нам необходимо рассчитать две стоимости портфеля – для случая роста индекса на величину I × δ и для случая его падения на такую же величину. Обозначим эти стоимости P(Ai(I,δ)) и P(Ai(I, − δ)) соответственно. Имея эти значения, можем рассчитать коэффициент асимметрии портфеля по следующей формуле:

Если построить график платежной функции портфеля, отложив по оси X значения индекса, а по оси Y стоимость портфеля, то Asym можно представить как модуль коэффициента наклона прямой, соединяющей две точки графика с абсциссами X = I(1 + δ) и X = I(1 − δ). Чем больше величина коэффициента отклоняется от нуля, тем более асимметрична платежная функция (если коэффициент равен нулю, то платежная функция портфеля полностью симметрична).

В таблице 3.2.3 приведены данные, необходимые для расчета коэффициента асимметрии портфеля, состоящего из 10 коротких стрэддлов (для простоты предположим, что количество каждого опциона в портфеле равно единице xi = 1). Например, цена акции ED при β = 0,23 и росте индекса на 10 % (δ = 0,1) будет равна 37,92(1 + 0,23 × 0,1) = $38,79. Подставляя это значение в формулу Блэка−Шоулза вместо текущей цены акции, находим, что стоимость опциона колл равна $1,89, а стоимость пут $3,06. Определив таким образом стоимости всех опционов, суммируем их и находим, что в случае роста индекса стоимость портфеля составит $46,66, а в случае падения – $31,46. Подставляя эти данные в формулу 3.2.7 и учитывая, что значение индекса S&P 500 на дату создания портфеля было 954,58, находим:

Вероятность того, что на дату истечения опционов портфель окажется убыточным, рассчитывается методом Монте-Карло. Для каждого опциона в портфеле производится генерация случайной цены его базового актива на определенный момент времени в будущем (для простоты мы будем генерировать цены на дату экспирации). Далее вычисляются прибыли и убытки опционов для полученных цен акций. Сумма полученных значений дает оценку прибыли/убытка портфеля. Описанный цикл представляет собой одну итерацию. Многократно повторяя итерации для одного и того же портфеля, можно получить достоверную оценку многих его характеристик.

В таблице 3.2.4 приведен пример двух итераций для портфеля, использованного ранее в таблице 3.2.3. Цены акций генерировались, используя логнормальное распределение с волатильностью, равной исторической волатильности, рассчитанной на периоде 120 торговых дней. При моделировании учитывались взаимные корреляции цен акций, рассчитанные на том же историческом периоде. Первая итерация для акции EIX сгенерировала цену $31,04, что подразумевает прибыль в размере $0,70 (30 + 1,74 – 31,04), зато вторая итерация для этой же акции дала убыток в размере $1,28. Для портфеля в целом первая итерация оказалась убыточной, а вторая – прибыльной (таблица 3.2.4).

Полный набор итераций для одного портфеля называется симуляцией (в своих расчетах мы использовали 20 000 итераций для каждой симуляции). Отношение числа убыточных итераций к общему числу итераций в симуляции дает оценку вероятности убытка портфеля. Например, если из 20 000 итераций 7420 были убыточными, то вероятность того, что данный портфель действительно окажется убыточным, составляет 0,37.

Эффективная система управления рисками должна включать в себя несколько альтернативных индикаторов, рассчитываемых на основе разных базовых принципов. Область их применения может включать не только создание портфеля, его оценку и реструктуризацию, но и генерацию сигналов на закрытие позиций. Разные индикаторы риска должны быть уникальны и взаимонезависимы (то есть они не должны коррелировать между собой). Необходимо подобрать такой набор уникальных индикаторов, чтобы каждый из них дополнял информацию, содержащуюся в других индикаторах, а не дублировал ее. В этом разделе мы исследуем взаимозависимость между четырьмя индикаторами риска.

Мы исходим из предположения, что если различные индикаторы риска являются уникальными (дополняют, а не дублируют информацию, содержащуюся в других индикаторах), то доходности портфелей, созданных на их основе, не будут коррелировать между собой.

Для тестирования взаимозависимости показателей риска использовалась база данных, содержащая цены опционов и их базовых активов в период с января 2003 по август 2009 г. На каждую дату истечения опционов было сформировано по 1000 портфелей, отстоящих от данной экспирации на разное количество дней (от 1 до 60). Таким образом, каждому количеству дней до заданной экспирации соответствовало 1000 портфелей, всего 60 000 портфелей для каждой даты экспирации.