Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Соответствие между элементами множества А и множества В, при котором разные элементы множества А находятся в соответствии (образуют сочетания) с разными элементами множества В и наоборот, называется одно-однозначным отображением (или инъекцией). Для краткости соответствие такого типа обозначают 1:1.

Например, предположим, что у нас есть три футболиста – Роналду, Месси и Мбаппе – и четыре манекенщицы – Адриана, Жизель, Кейт и Нина. Если мы составим следующие пары футболистов и манекенщиц:

то получим одно-однозначное соответствие между двумя сформированными таким образом множествами, потому что любые два футболиста (разные элементы множества А) попадают в пары с разными манекенщицами (разными элементами множества В). То обстоятельство, что Адриана осталась без пары, с точки зрения этого определения не имеет значения. Раз у каждого элемента множества А есть уникальная пара, соответствие можно считать одно-однозначным.

Кроме того, пары можно составить и следующим образом:

В этом случае соответствие не будет одно-однозначным, потому что два разных футболиста попали в пары с одной и той же манекенщицей, Кейт. В множестве А больше элементов, чем в множестве В.

Когда существует такое соответствие элементов множества В элементам множества А, что для каждого элемента множества В имеется по меньшей мере один соответствующий элемент множества А, такое соответствие называют сюръективным. Обратите внимание, что на один и тот же элемент множества В могут отображаться несколько элементов множества А (в этом случае получившееся отображение не будет одно-однозначным). При таком соответствии говорят, что множество А сюръективно отображается на множество В.

Предположим, например, что у нас есть теперь пять футболистов – Роналду, Месси, Мбаппе, Кен и Неймар – и те же четыре манекенщицы – Адриана, Жизель, Кейт и Нина. Для них можно образовать следующее сюръективное соответствие:

Это соответствие сюръективно, потому что каждый из элементов множества В (четырех манекенщиц) образует пару по меньшей мере с одним элементом множества А (футболистом). Заметим, что в этом случае два футболиста «отображаются на» одну из манекенщиц (Кейт). В то же время следующее соответствие не будет сюръективным:

Почему? Потому что один из элементов множества В (Жизель) не образует пары ни с одним из элементов множества А. Обратите внимание, что на двух манекенщиц «отображаются» по два футболиста, в результате чего бедная Жизель остается в одиночестве.

Если между двумя множествами А и В существует и одно-однозначное, и сюръективное соответствие, это означает, что элементы этих множеств могут быть разбиты на «идеальные» пары – каждому индивидуальному элементу множества А может быть сопоставлен элемент множества В, а каждому элементу множества В может быть сопоставлен элемент множества А. Соответствие, которое является одновременно инъективным и сюръективным, называется биективным[46].

Совершенно ясно, что, если оба множества А и В конечны, то существование между ними и одно-однозначного, и сюръективного соответствий возможно, только если оба множества содержат одинаковое количество элементов. Поясню: наличие одно-однозначного (инъективного) соответствия означает, что количество элементов множества В равно количеству элементов множества А или больше его, а наличие сюръективного соответствия предполагает, что большее или равное число элементов содержит множество А (поскольку каждый элемент множества В может быть связан с несколькими элементами множества А). В сочетании эти два условия означают, что, если А и В – конечные множества, то количество элементов в них должно быть одинаковым.

Можно продемонстрировать, что соответствие между множеством футболистов и множеством манекенщиц является одновременно одно-однозначным и сюръективным тогда, и только тогда, когда оба эти множества содержат одно и то же количество элементов, как в следующем примере (приведенном для тех, кто тоскует по прошлому):

Вот еще один пример:

В нем также имеются одно-однозначное и сюръективное соответствие, и нам даже не пришлось привлекать футболистов или манекенщиц.

Теперь, прояснив все эти вопросы, вернемся к бесконечным множествам. Исходя из изложенного выше, кажется естественным дать следующее определение равенства количества элементов двух множеств (будь то конечных или бесконечных):

Что же это за «мощность»? Возможно, вы помните, что мы уже упоминали ее некоторое время назад. Смысл мощности конечных множеств вполне ясен.

Однако в случае бесконечных множеств понятие «количества элементов множества» не очевидно и не может быть очевидно. Когда речь идет о бесконечных множествах, мы можем только сравнивать их мощности.