Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

– В этом нет никакой проблемы, даже наоборот. Числу 1 достанется множество номеров, и оно выберет, в каком из них жить, – ответил профессор.

Теперь мы подходим к третьему простому числу, которое равно 5. Значит, числу 1/3 достанется номер 5. – Именно в этот момент администратор поняла, почему простые числа непременно нужно возводить в степени: дело в том, что номер 4 уже занят числом 2.

– 2/3 поселится в номере 5², – продолжал профессор, – дроби 3/3 будет выделен номер 5³… вы ведь уже поняли логику моего метода. Затем мы переходим к 7, четвертому простому числу. Идея остается той же. 1/4 получает номер 7, 2/4 – номер 7², 3/4 сможет вселиться в номер 7³ и так далее и так далее – снова и снова и снова. Эта схема расселения очень интересна, – добавил профессор. – Хотя имеется бесконечное число бесконечных групп постояльцев, и каждая из этих групп сама по себе способна целиком заполнить гостиницу, мы сумели разместить всех их. Причем… у нас по-прежнему остается бесконечное количество свободных номеров!

– Что?! – Администратор гостиницы не поверила своим ушам.

– Все номера, не соответствующие простым числам или степеням простых чисел, – например 1, 6, 10, 12, 14, 15, 18… – остаются совершенно пустыми.

Администратор, лишь мгновением раньше бывшая в восторге от того блестящего метода, который предложил для решения проблемы расселения профессор, снова впала в полнейшее отчаяние. Перед ней снова возникла проблема уровня заполненности гостиницы. Хороший администратор гостиницы просто не может позволить себе иметь бесконечно много (!) незанятых номеров. Что подумают хозяева гостиницы?

– Послушайте, – сказала Омега профессору, – одни только натуральные числа могут заполнить всю гостиницу, и так оно раньше и было. А теперь вы предлагаете какую-то безумную схему, по которой натуральные числа вместе с бесконечным количеством других бесконечных множеств, каждое из которых тоже могло бы заселить всю гостиницу, создают мне уровень заполненности гораздо ниже 100 процентов. По-моему, в этом нет никакой логики. Я, конечно, не специалист, но нет ли какого-нибудь способа, который позволил бы мне отчитаться начальству о значительно более высокой заполненности гостиницы?

– Что же, я думал, что решение будет гораздо более эффектным, если останется бесконечное число незанятых номеров. Но если вас интересует только уровень заполненности, я могу предложить другой вариант, в котором все номера будут заполнены на 100 процентов.

– Пожалуйста, расскажите мне о нем! – взмолилась Омега.

– Прежде чем я объясню это решение, нам нужно провести небольшую подготовку. Поставим в соответствие каждому рациональному числу пару чисел. Первым из них будет его числитель, а вторым – знаменатель. Например, числу 3/4 будет соответствовать пара чисел (3, 4). Каждое натуральное число n мы будем записывать в виде дроби n/1; тогда ему будет соответствовать пара (n, 1). Например, числу 7 соответствует пара (7, 1). Теперь расположим все эти числа следующим образом:

Отмечу для любителей алгебры, что в общем случае мы выделяем числу n/m номер n² – m + 1, если n ≥ m, и номер (m – 1)² + n, если n