Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман

Эдвард Шейнерман

0

0

(0)

0 0

Аннотация: Принято считать, что математика – наука точная и совершенно скучная, но Эдвард Шейнерман берется доказать обратное. Он утверждает, что математика бывает не менее увлекательной, чем гуманитарные дисциплины. Как объяснить тот факт, что бо́льшая часть окружающих нас чисел начинается на единицу, а тех, что начинаются на девятку, – совсем мало? Каков наилучший путь выиграть выборы, если победителями становятся больше двух кандидатов? Как понять, насколько можно доверять даже самому высокоточному медицинскому тесту? Можно ли покрыть весь пол паркетинами в виде правильных пятиугольников и не оставить зазоров? Как проверить, не сфабрикована ли налоговая отчетность, всего лишь проанализировав первые цифры денежной суммы? Может ли математика пролить свет на вопрос о свободе воли? Ответы на все эти и многие другие вопросы вы найдете в этой книге. Автор приглашает читателя испытать свои силы в решении математических головоломок и станет вашим гидом в захватывающем и комфортном путешествии по миру чисел, геометрических фигур и теории вероятностей. Достаточно школьных знаний алгебры, а итогом станет незабываемая радость знакомства с основами математического мышления.

0

0

Читать

• Автор: Эдвард Шейнерман
• Жанр: Домашняя
• Дата выхода: 2018
• Страниц: 67
• Добавлено: 27.10.2024

- +

- +

Читать книгу "Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман"

Элементы ряда поочередно оказываются то действительными, то мнимыми. Сгруппируем эти две категории элементов:

Оказывается, что выражение между первыми двумя скобками представляет собой в точности cos(π), то есть –1, а выражение между вторыми скобками равно sin(π), то есть 0. Таким образом,

Теперь мы понимаем, как возникла чудесная формула Эйлера.

«В бесконечность и дальше!» – таков был лозунг Базза Лайтера, бесстрашного космического рейнджера из мультфильма «История игрушек». Эта фраза вызывает смех, ибо абсурдна: куда уж дальше бесконечности? Если что-то бесконечно велико, то может ли существовать что-то большее? Такие вопросы кажутся безумными, и математики до поры до времени предпочитали их не задавать. Но в конце XIX века Георг Кантор[79] набрался смелости и стал искать ответ[80]. Интуиция подсказывает, что нет ничего больше бесконечности.

Оказывается, здесь интуиция нас подводит.

Множества

В математике все сложное объяснимо через простое. Если быть достаточно скрупулезным, то комплексные числа можно определить с помощью действительных, действительные – с помощью рациональных, рациональные – с помощью целых и т. д. Все здание математики покоится на фундаментальной концепции множества.

Множество – это просто набор объектов. Например, {1, 2, 5} – множество, состоящее из трех чисел[81]. Оно совпадает с множеством {1, 5, 2}, потому что порядок чисел в данном случае не важен. Кроме того, объект либо входит, либо не входит во множество. Входить во множество два раза нельзя. Множество {1, 1, 2, 5} совпадает с множеством {1, 2, 5}, второе появление числа 1 избыточно.

Если элемент входит в некоторое множество, математики используют значок ∈. Например, выражение 2∈ {1, 2, 5} следует понимать так: «Число 2 входит во множество, состоящие из чисел 1, 2, 5». Перечеркнутый значок показывает, что элемент не входит во множество; например: 3∉ {1, 2, 5}.

Число элементов, входящих во множество A, мы обозначаем |A|. Например, |{1, 2, 5}| = 3. Число |A| называют мощностью множества A.

Мощность такого рода множеств, как {1, 2, 5}, конечна. Однако мощность множества ℤ (все целые числа) бесконечна, как и мощность множества ℝ (все действительные числа).

Как сравнить размеры двух множеств? Простейший способ – пересчитать их элементы. Например, и у множества {1, 2, 5}, и у множества {3, 8, 11} мощность равна 3, стало быть, они равновелики.

Другой способ установить, что мощность множеств совпадает, – построить взаимно однозначное соответствие между их элементами[82]. Иными словами, нам не обязательно перебирать все элементы, достаточно ввести правило, по которому мы сопоставляем элемент из одного множества с каким-либо элементом из второго. Вот взаимно однозначное соответствие между множествами {1, 2, 5} и {3, 8, 11}:

Впрочем, когда элементов мало, поиски взаимно однозначного соответствия обременительны и не приносят большой пользы.

Разберем более запутанный пример. Представьте себе, что в некоторый клуб входит семь человек (для удобства будем называть их по номерам: 1, 2, 3, …, 7).

Клубу разрешили послать трех членов на ежегодную национальную конференцию. Есть много способов выбрать трех человек из семи. Пусть A – множество всех возможных групп по три человека:

Здесь мы под «123» подразумеваем, что на конференцию поедут члены клуба под номерами 1, 2 и 3.

На следующий год членов клуба оповещают, что они могут отправить на конференцию четырех человек. Пусть B – множество всех групп по четыре человека:

Итак, A – множество групп по три человека, B – множество групп по четыре человека.

Совпадают ли их мощности?

Если внимательно пересчитать все элементы, выяснится, что мощности этих множеств совпадают. Но выписывать все возможности одну за одной – нудная и не застрахованная от ошибок работа[83].

Гораздо проще показать, что эти множества равновелики, если найти взаимно однозначное соответствие между их элементами. В голову приходит следующая мысль. Допустим, члены клуба решают, что на вторую конференцию больше не поедут те, кто побывал там в первый год. Тогда каждую группу по три человека из первого множества можно сопоставить с другой группой по четыре человека из второго множества. Например, если 1, 4 и 5 поехали на конференцию в первый год, то на следующий год поедут 2, 3, 6 и 7. Или: 145 ↔ 2367.

Выпишем все возможности:

Это взаимно однозначное соответствие показывает, что A и B равновелики.

Вы можете выписать все элементы множеств полностью и убедиться, что их количество совпадает (хотя взаимно однозначное соответствие избавляет нас от этой нудной работы). Перечень всех элементов вы найдете в конце главы.