Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Броун был не первым, кто обнаружил это явление. Поколением раньше ученый по имени Ян Ингенхауз заметил, что частицы угля трепыхаются в алкоголе. Почти за 2000 лет до этого римский поэт Лукреций писал о пыли, дрожащей в луче света. Это древний вездесущий танец.

Так что же он собой представляет?

Итак, весь мир состоит из атомов. Они находятся в постоянном движении. Без электронного микроскопа атомы мы увидеть не можем, но можем заметить более крупные частицы, которые атомы все время бомбардируют, – частицы, такие как пыль со сфинкса и пыльца цветов. Представьте себе огромный шар в парке Дисней Эпкот[21], который непрерывно бомбардируют миллиарды невидимых маленьких шариков, и вы уловите эту идею.

В любой отдельно взятый момент совершенно случайный удар с одной стороны немного перевешивает удар с противоположной. Это вызывает отклонение частицы в одном направлении. В следующий момент схема меняется и частица движется в другом направлении.

Это продолжается вечность, момент за моментом, мгновение за мгновением.

Джига частиц, получившая название «броуновское движение», приводит в замешательство. Это движение частиц беспорядочно, то есть частицы не отдают предпочтения каким-либо направлениям. Оно непредсказуемо, иначе говоря, прошлые движения не дают никакой подсказки, в каком направлении частица будет двигаться в дальнейшем. Но, возможно, самое необычное из всего – это характер изменения направления.

Эти изменения в нашей математической модели являются недифференцируемыми.

Термин требует дополнительных разъяснений, поэтому представьте себя бейсбольным мячом. Я бросаю вас в воздух со скоростью 25 м/с. Предположим, вы простили мое агрессивное поведение, и мы вместе задаемся вопросом, что же происходит после этого. Вы пронзите атмосферу и отправитесь в долгое одинокое странствие среди звезд?

Боюсь, что нет, мой простроченный красными нитками друг! Вы житель Земли, попавший в гравитационную ловушку планеты. Поэтому через секунду вы замедлитесь до 15 м/с. Еще через секунду ваша скорость упадет до 5 м/с. А через следующую половину секунды вы замедлитесь еще сильнее, пока, наконец, не измените направление и не начнете падать с ускорением в направлении земли.

В верхней точке траектории нас ждет необычный и удивительный момент, когда вы уже перестали подниматься, но еще не начали падать. В этот краткий «чих» времени вы лишены движения, «путешествуете» со скоростью ноль метров в секунду.

А что, если мы снабдим вас ракетными ускорителями? Если когда-то вы были всего лишь просто шаром из воловьей кожи, то теперь стали оснащенным реактивным двигателем шаром из воловьей кожи. С помощью реактивной тяги вы взмываете вверх, а потом несетесь вниз. Не является ли это другим видом перемены направления?

На самом деле нет. Разумеется, то, что когда-то занимало целую секунду, теперь происходит за какие-то ее доли, но общая схема сохраняется. После того как ваше движение вверх замедлилось, и до того, как началось движение вниз, существует единственный момент смены направления, когда ваша мгновенная скорость равна нулю.

Только если очень напрячь свое математическое воображение, мы можем представить другой вариант развития событий, скажем, такой:

Тут происходит нечто невероятное. Вы переходите непосредственно от движения вверх к движению вниз без какого-либо промежуточного момента, о котором стоило бы говорить: никакой паузы, никаких пропусков хода, никаких удлинений седьмого иннинга.

Даже приближение – наш стандартный прием для всего, что касается математического анализа, – не вносит никакой ясности. Не важно, как близко вы смотрите или как замедляете видео, – этот момент перехода остается загадкой. Миллиардной долей секунды ранее бейсбольный мяч летел со скоростью 10 м/с вверх, а миллиардную долю секунды спустя он летит со скоростью 10 м/с вниз. Нет замедления, нет ускорения, только неожиданная смена курса, такая внезапная и таинственная, что сознание едва ли сможет ее уловить.

С какой скоростью бейсбольный мяч движется в этот момент? На самом деле движение настолько ничтожно, что само понятие скорости теряет смысл. В это мгновение бейсбольный мяч не имеет скорости. На жаргоне математического анализа функция его положения недифференцируема.

Теперь, после неожиданного рикошета, давайте вернемся к броуновскому движению. То, чего никак не может сделать бейсбольный мяч, частицы при броуновском движении, кажется, делают каждый день. Постоянно.

Изолированная точка недифференцируемости, единственное резкое изменение в движении, которое в иных случаях растягивается по гиперболе, – это само по себе плохо. Но через полвека после Броуна математик Карл Вейерштрасс создал куда более пугающую математическую функцию. Он не ограничился одной недифференцируемой точкой, и даже двумя, и двадцатью. Он придумал функцию, которая является недифференцируемой повсюду.