Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Парадокс Брайанны далеко не единственный. Другой вариант начинается с равностороннего треугольника. Если предполагать, что все три стороны равны, то путь по красным линиям в два раза дольше, чем по черной.

Далее возьмем две красные стороны, разделим каждую из них пополам, и, таким образом, наш путь вверх и вниз превратится в вверх-вниз-вверх-и-вниз.

Длина красной части не изменилась: мы просто перераспределили участки. Таким образом, они по-прежнему равны удвоенной длине черной стороны. И мы можем повторять и повторять этот процесс – делить и перераспределять, делить и перераспределять, а красный участок будет оставаться равным двум черным на всех этапах.

Если мы будем повторять деление бесконечное количество раз, то первоначальная красная треугольная «палатка» превратится в прямую линию из пылинок, неотличимую от черной. Но… не привело ли это к тому, что путь вырос в два раза?

Исследователям потребовались столетия ложных шагов и осечек, чтобы разобраться с этой проблемой. «Чтение трудов математиков этого периода, – пишет профессор Уильям Данхэм, – напоминает прослушивание произведений Шопена, которые исполняются на пианино, где несколько клавиш расстроены: в один момент можно оценить гениальность музыки, а в другой она режет слух».

Ставящая в тупик правда – она сбивает с толку не меньше, чем несомненная простота этой проблемы, – состоит в том, что не ко всему можно применять предельный переход.

Возьмем последовательность 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999… На каждом этапе мы получаем дробь – нецелое число. Но каким-то образом на вымощенной желтым кирпичом дороге к бесконечности последовательность превращается в единицу.

Означает ли это, что единица не является целым числом? Черт побери, нет! Это просто значит, что конечная точка движения не обязательно должна напоминать путь, который привел вас к ней. Деревянные ступеньки могут привести к лестничной площадке, покрытой ковром.

Вот пример, который моя жена приводит на первых занятиях по математическому анализу: треугольная волна, двигающаяся через плоскость вдоль оси х.

Каждая точка в какой-то момент является нулем, затем на короткий период времени, во время прохождения волны, она не равна нулю, затем это снова нуль, навеки и даже дольше. Каждая точка, таким образом, рано или поздно приближается к нулевой отметке. Это означает, что пределом всего сценария является горизонтальная линия, ось х.

Но что происходит с волной? Не стирает ли ее предел с лица земли, как нейтронная бомба?

Одним словом, да. Пределы могут это сделать.

В действительности вы никогда не «достигнете» предела. Приблизиться к нему вы, конечно, можете – так близко, что почувствуете его запах, его боль, но коснуться его не удастся. Прыжок к пределу – это трансцендентальный акт, это сродни переходу к смерти: скачок от подвластного времени тела к существующей вне времени душе. Почему любая принадлежащая нам вещь должна пережить это путешествие? У наc есть волосы и зубы, но разве мы ожидаем, что после смерти будем существовать в виде волосатых и зубастых духов?

Чудо математического анализа, неизмеримая тайна всей этой науки в том, сколь многое переживает этот смертельный скачок. И производная, и интеграл ограничены пределами. Тем не менее они не прекращают свое существование. Они работают.

Такие загадки, как та, что нам загадала Брайанна, стимулировали развитие математики в XIX в. Целое поколение ученых совместно работало, чтобы раз и навсегда разгадать парадоксы в математическом анализе. Это означало превращение интуитивной, геометрической работы их предшественников в нечто четкое и нерушимое, в переосмысленный математический анализ, который сохраняет некоторые первоначальные черты, но избавляется от других.

Именно так обстоит дело с предельными процессами. Что-то исчезает, как осенние листья, что-то остается, как ветви деревьев зимой.

Год 1827. Наш главный герой – веселый седовласый ботаник по имени Роберт Броун. Он склоняется над микроскопом, вглядываясь в предметное стекло с пыльцой, – занятие, которое за десятки лет до появления кабельного телевидения можно было считать развлечением по выходным. Броун замечает нечто непривычное.

Танцевальную вечеринку в миниатюре.

Крошечные частицы зернышек пыльцы колеблются перед его глазами. Они танцуют джиттербаг[19]. Они исполняют джайв[20]. Они подпрыгивают, как зерна кукурузы на горячей сковородке, или как накачанные кофеином кролики, или как я на свадебной вечеринке у друга. Они извиваются, как будто слышат песню «Uptown Funk». Что же поддерживает эту неистовую активность?

Возможно, это жизненная сила пыльцы, похожее на перемещение сперматозоидов вечное движение половых клеток растений? Нет. Начнем с того, что, даже если жидкость стоит в закрытом сосуде целый год, танец так и не останавливается. (Реальная проверка танцевальной вечеринки!) Далее Броун обнаруживает такое же движение у частиц стекла, гранита, дыма и даже пыли, собранной с великого сфинкса в Гизе, из чего мы можем сделать вывод, что в те времена туристы запросто могли поскрести исторический памятник, чтобы собрать бесплатные образцы для опытов.