Наставница Эйнштейна. Как Эмми Нётер изобрела современную физику - Ли Филлипс

изменения переменной). И эти постоянные сдвиги времени и в самом деле определяют тот тип структурной симметрии, к которому применима теорема Нётер. В случае симметрии временно́го сдвига теорема Нётер сообщает, что соответствующая сохраняющаяся величина – это суммарная энергия. По мере эволюции физической системы различные типы существующей в ней энергии могут превращаться друг в друга, но их совокупность, суммарная энергия, с течением времени останется неизменной.

Почему это важно? В конце концов нам уже известен закон сохранения энергии. Как упоминалось выше, мы «знали» об этом законе природы, но не о том, почему он был в принципе верен. Закон сохранения энергии обладает полуэмпирическим статусом. Его можно доказать для некоторых систем. Например, в случае выстрела из пушки можно доказать, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. Что касается иных систем, ученые просто предполагают, что закон сохранения энергии должен соблюдаться, поскольку исключения из него пока не найдены. Поэтому ожидалось, что он будет соблюдаться также в рамках общей теории относительности.

Теорема Нётер показывала, что в любой системе, для которой характерна симметрия относительно смещения времени, энергия сохраняется. Это открытие превратило смутную концепцию сохранения энергии в фундаментальный элемент реальности, необходимое свойство любой вселенной, чьи основополагающие симметрии соответствуют нашим самым фундаментальным интуициям. Поскольку для всех известных физических теорий характерна симметрия временно́го сдвига, теорема Нётер доказывала, что закон сохранения энергии был и в самом деле универсальным. Это превращало закон из полуэмпирического наблюдения в математическую истину.

Другим примером простого применения теоремы Нётер является симметрия пространственных сдвигов. Точно так же, как не имеет значения произвольный момент, с которого мы начинаем отсчет времени, не должно иметь значение и начало отсчета любой пространственной системы координат. В уравнениях движения чистые пространственные координаты не фигурируют. Иными словами, ньютоновская механика является гомогенной в отношении пространства. Если пустить в дело теорему Нётер, то станет очевидно, что симметрия пространственной гомогенности равнозначна закону сохранения импульса.

Закон сохранения импульса – закон сохранения, который был известен до закона сохранения энергии, – подразумевается законами Ньютона. Это – закон сохранения, объясняющий, почему взлетают ракеты и почему, стреляя из ружья, вы чувствуете отдачу в руках или плече. Импульс извергаемого ракетой топлива или вылетающего из ружья патрона должен быть уравновешен противоположным по вектору равным импульсом. Простая версия этой идеи выражена в наиболее известном из законов Ньютона: каждому действию всегда есть равное и противоположное противодействие.

Но открытие Нётер показало, что сохранение импульса было чем-то большим, чем просто особым свойством ньютоновской механики. Вместо этого оно оказалось универсальным и необходимым свойством любой пространственно гомогенной теории. Лишенная такой симметрии теория предполагала бы, что выводы из нее – законы природы, – будут каким-то образом различаться между собою в зависимости от места. Поскольку это противоречит нашей интуиции, мы, естественно, ожидаем, что любая состоятельная физическая концепция будет соблюдать симметрию пространственной гомогенности. Продемонстрированный теоремой Нётер факт, что из симметрии следует закон сохранения импульса, превратил этот закон сохранения в элемент, который мы ожидали бы встретить в любой физической теории. И, как и с законом сохранения энергии, закон сохранения импульса был бы свойством любой вселенной, отвечающей нашим наиболее фундаментальным интуициям относительно пространственных симметрий.

Последний пример, иллюстрирующий теорию симметрии Нётер, касается симметрии вращений – симметрии, присущей кругу. Метод Нётер показывает, что эта форма симметрии предполагает сохранение момента импульса.

Симметрия вращения называется также пространственной изотропией. Теория, не соблюдающая эту симметрию, допустила бы идею эксперимента, дающего новые результаты, когда его повторяют после вращения лаборатории. Это кажется неприемлемым, а потому сохранение момента импульса, как и другие законы сохранения, можно теперь рассматривать как следствие интуитивных пространственно-временных симметрий, которые приходится соблюдать любой рациональной теории.

Отметим, что эти симметрии являются симметриями, присущими теориям, что отражается в симметричности их уравнений. Очевидно, что, если вы проводите эксперимент дважды в различных местах, где разные условия влияют на конечный результат, это не означает, что изменились законы природы. Эта дискуссия подразумевает идею, что, например, сдвиг в пространстве означает только изменение места в пространстве, тогда как любые другие значимые факторы остаются постоянными.

Временно́й сдвиг, пространственный сдвиг и симметрия вращения – всего лишь три примера симметрий, которые благодаря теореме Нётер оказались связаны с известными законами сохранения. Теорема доказывает, что любая симметрия ведет к закону сохранения, даже если у него нет названия или он неизвестен. Предположительно, теорему можно использовать для открытия новых законов сохранения (что и было сделано, как мы узнаем из седьмой главы).

Поскольку Нётер доказала также утверждения, обратные своим теоремам, мы знаем не только то, что конкретная симметрия предполагает конкретный закон сохранения, но и что закон сохранения предполагает симметрию. Если вам известно, что у вас есть сохраняющаяся величина, то вы также знаете, что в теории присутствует симметрия – возможно, скрытая, возможно, неизвестная. Но она должна там быть.

Как я расскажу в седьмой главе, большинством ученых теорема Нётер усваивалась медленно. Есть история, отчасти показывающая, как неторопливо распространялась осведомленность о теореме. В одном интервью Вернер Гейзенберг вспоминал, как задолго до описываемых событий в некой статье была предпринята попытка разрешить возникающую в ходе экспериментов загадку из области физики элементарных частиц. Данные означали, что энергия не сохраняется. Автор статьи предположил, что энергия может сохраняться лишь «статистически», а не в точном смысле слова. Когда Вольфганг Паули (один из самых выдающихся теоретиков того времени) услышал об этом, он сказал: «Что ж, это слишком опасно. Вы покушаетесь на то, на что покушаться не следует».

Гейзенберг продолжает: «Конечно, много времени спустя физики поняли, что законы сохранения и свойства симметричности – одно и то же. А потому, если вы затрагиваете принцип сохранения энергии, то, значит, говорите и о сдвиге во времени. А на это, конечно, никто бы не осмелился покуситься. Но в те времена такая взаимосвязь не была очевидной. То есть понятно, что она была очевидна для Нётер, но не для рядового физика»[179].

* * *

В предыдущей главе мы видели, как в специальной теории относительности пространство и время, которые в ньютоновской физике являются разными вещами, превратились в единый математический объект, четырехмерное пространство-время. До Эйнштейна физики считали энергию и импульс разными вещами. Оба сохранялись независимо друг от друга, и Нётер показала, как отдельные законы сохранения эквивалентны отдельным видам симметрий: закон сохранения энергии – временному сдвигу, а закон сохранения импульса – пространственному. Но в рамках специальной теории относительности, поскольку пространство и время больше не являются отдельными явлениями, из теоремы Нётер следует, что энергия и импульс также могут не быть отдельными явлениями.

И