Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

В Кёнигсберге было всего семь мостов. Однако не так давно бристольские математики применили шорткат Эйлера к 45 мостам, пересекающим сложную систему рек и каналов, протекающих через этот город. Если в Кёнигсберге было два острова, в Бристоле их три – Спайк-айленд, Сент-Филипс и Редклифф.

На первый взгляд совершенно неясно, можно ли проложить маршрут обхода всех 45 мостов, но при помощи шортката Эйлера можно увидеть, что число нечетных вершин на схеме, которая изображает участки суши, соединенные мостами, достаточно мало, чтобы такой маршрут мог существовать. Первый маршрут обхода открытых для пешеходов мостов Бристоля составил в 2013 году доктор Тило Гросс, бывший преподаватель прикладной математики Бристольского университета. «Когда я нашел решение, я, естественно, не мог не пройти по этому маршруту, – говорит он. – Первая прогулка по мостам заняла 11 часов; длина маршрута была около 53 километров».

Собственно говоря, шорткат Эйлера помог и мне, когда я в молодости сдавал психометрический тест при поступлении на работу. В тесте было несколько сетей, которые соискатель должен был начертить, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя ни одной линии больше одного раза. Подразумевалось, что это возможно, и создавалось впечатление, что составители теста хотели проверить способность соискателей справляться с такими заданиями. На самом же деле проверялась честность соискателей, потому что начертить одну из трех сетей было невозможно. Как и в схеме кёнигсбергских мостов, в ней было больше двух вершин, от которых отходило нечетное число ребер.

Разумеется, написанное мной рядом с заданием заумное сочинение, рассказывающее о шорткате Эйлера и причинах, по которым это задание невозможно выполнить, не имело большого успеха. Работу я не получил.

Великим достижением Эйлера было решение сосредоточиться именно на том аспекте карты Кёнигсберга, который был важен для решения этой задачи. Не имело значения, какое расстояние нужно было пройти или как выглядели мосты. Главным в этом решении было отбрасывание лишней информации и сохранение только необходимых для составления маршрута аспектов карты. Идея отсеивания несущественной информации лежит в основе многих шорткатов. Именно она является ключевым элементом того, как человек использует эвристику – игнорирует или огрубляет информацию, будь то осознанно или бессознательно, чтобы упростить решаемую задачу и уменьшить объем необходимой для ее решения мыслительной деятельности. Людям часто приходится принимать решения за ограниченное время или с помощью ограниченных мыслительных ресурсов; поэтому нам необходимо находить эффективные способы выделения именно тех аспектов задачи, которые помогают ее решить, а не приводят к ненужному расходу драгоценного умственного пространства.

В революционной работе психологов Амоса Тверски и Даниэля Канемана были определены три основные стратегии, которые человек использует в качестве мысленных шорткатов к принятию решений. Мы используем идею паттернов, объединяющих разные события, – это явление они называют репрезентативностью. Оно, несомненно, помогает мне в математике, избавляя от необходимости заново обдумывать уже рассмотренные задачи. Вторая стратегия называется привязкой и корректировкой. Это процесс, отталкивающийся от некой исходной информации, уже понятной или известной, которая служит точкой привязки: мы сравниваем с ней другие ситуации. Наконец, есть эвристическая стратегия доступности, которая предполагает использование локальных знаний для оценки более общих ситуаций[118].

Очевидно, две последние стратегии склонны порождать предвзятость, потому что в общем случае у нас не бывает ни очень надежных точек привязки, ни по-настоящему репрезентативных локальных знаний. В чрезвычайно влиятельной книге Канемана об ограничениях человеческой эвристики под названием «Думай медленно… решай быстро»[119] приводятся примеры того, как суждение отвечающего на вопрос можно исказить, всего лишь назвав перед этим некое число. Например, если упомянуть 1215 и 1992 годы, это искажает оценку людей, которых затем спрашивают, в каком году Альберт Эйнштейн впервые приезжал в США (правильный ответ – в 1921-м). Они называют более ранние или более поздние годы, чем респонденты, которым тот же вопрос задали без точек привязки, хотя вполне очевидно, что эти точки – то есть упомянутые годы – не имеют ни малейшего отношения к задаваемому вопросу.

Математические шорткаты, которые мы изобрели на протяжении столетий, – это попытка преодолеть действие шорткатов эволюционных, которые начинают подводить нас по мере все большего усложнения наших вопросов. Эти эвристические методы, возможно, помогали нам ориентироваться в саванне, где вероятность столкнуться с большим разнообразием предметов была меньше, но в понимании универсальных истин от них пользы мало.

Главное в полезной эвристике – понять, как понял Эйлер в случае с Кёнигсбергом, что ни характеристики мостов, ни расстояния, ни география города для задачи не существенны. Для ее решения важно лишь то, как соединены между собой участки суши.

Когда я приехал в Калининград, мне интересно было узнать, сколько из пресловутых семи мостов еще стоят в современном городе. Калининград – важный порт на Балтийском море; во время Второй мировой войны он был стратегической базой германского флота и подвергся разрушительным бомбардировкам союзной авиации. Значительная часть старого города была стерта с лица земли, в том числе и знаменитый университет, в котором изучали науки Кант и Гильберт, расположенный на острове в самом городском центре. Какова же была судьба мостов?

Три из довоенных мостов еще существуют. Два полностью исчезли. Еще два моста были разбомблены во время войны, но впоследствии заново отстроены: по ним проходит пересекающая город автострада. Однако появились два новых моста: в западной части города два берега Преголи соединяет железнодорожный мост, по которому, как я выяснил, могут ходить и пешеходы, а кроме того, был построен пешеходный Кайзеровский мост[120]. То есть мостов снова стало семь, хотя их конфигурация несколько отличается от той, которую анализировал в XVIII веке Эйлер. Разумеется, вся прелесть этого шортката состоит в том, что он действует независимо от количества и расположения мостов. Поэтому мне сразу же пришла в голову мысль проверить, можно ли проложить такой маршрут по нынешним мостам.