Опционы. Разработка, оптимизация и тестирование торговых стратегий - Вадим Цудикман

Признавая, что с практической точки зрения VaR намного удобнее в использовании, чем стандартное отклонение, концептуально эти показатели ничем друг от друга не отличаются. В этом легко убедиться, рассмотрев методику вычисления VaR. Существуют три основных способа расчета: аналитический, исторический и методом Монте-Карло. Аналитический метод основан на использовании параметров выбранного распределения доходностей. Чаще всего используется логнормальное распределение (несмотря на его многочисленные недостатки). Поскольку основным параметром данного распределения является стандартное отклонение (второй параметр, математическое ожидание цены, обычно принимается равным текущей цене актива), можно утверждать, что VaR является всего лишь показателем, производным от стандартного отклонения. Исторический метод предполагает использование изменений цен актива, произошедших за определенный промежуток времени в прошлом. Поскольку стандартное отклонение рассчитывается на основе тех же данных, оба показателя сильно коррелируют между собой и, по сути, выражают одну и ту же величину. С помощью метода Монте-Карло генерируется множество случайных вариантов цены актива. И вновь алгоритм генерации цен основан на использовании функции плотности вероятности определенного распределения. В качестве распределения обычно используется логнормальное, основным параметром которого, как и в случае применения аналитического метода, является стандартное отклонение. Из вышесказанного следует, разработка показателя VaR добавила удобства пользователям, но не привела к созданию новых принципов оценки рисков.

Вычисление риска портфеля, состоящего из линейных активов, не представляет большой сложности. В большинстве случаев стандартное отклонение и VaR такого портфеля вычислимы с помощью аналитических методов, для чего достаточно знать стандартное отклонение каждого инструмента, его долю в составе портфеля, а также необходимо иметь ковариационную матрицу. Последнее необходимо для того, чтобы учесть эффект диверсификации, заключающийся в снижении риска портфеля в результате включения в его состав слабо коррелирующих активов (или активов с отрицательными корреляциями). Риск портфеля, включающего нелинейные инструменты, невозможно вычислить аналитически. Для этого приходится пользоваться методами числового моделирования, самым распространенным из которых является метод Монте-Карло.

Традиционные методы оценки риска, применяемые для линейных активов, непригодны для финансовых инструментов, имеющих нелинейную платежную функцию. Это объясняется тем, что распределение доходностей нелинейных активов ненормально. Например, опцион колл имеет неограниченный потенциал прибыли, вследствие чего правый хвост распределения его доходностей ничем не ограничен. Однако, ввиду того что максимально возможный убыток не может превосходить величину премии, уплаченной при открытии позиции, левый хвост распределения ограничен данной величиной. Вследствие этого распределение доходностей несимметрично и даже приближенно не может считаться нормальным. Применение логарифмической трансформации не решает эту проблему, как в случае с линейными активами. (Хотя использование логарифмической трансформации приближает распределение доходностей линейных активов к нормальному, существует множество доказательств отклонения распределения логарифмов доходностей от законов нормального распределения. Тем не менее в данном случае речь идет лишь об отклонениях, в то время как для нелинейных активов распределение доходностей даже не приближается к нормальному распределению.)

Несмотря на вышесказанное, при соблюдении определенных условий, методы, применяемые для оценки риска линейных активов, могут использоваться для нелинейных инструментов. Например, хотя VaR опциона не может быть вычислен аналитически, его можно рассчитать с помощью методики Монте-Карло. Однако при создании автоматизированных стратегий, ориентированных на торговлю опционами, эти методы могут использоваться только в качестве вспомогательных инструментов оценки рисков. Основными должны быть специальные методы, учитывающие специфику нелинейных активов в общем и опционов в частности.

Общепринятым средством оценки рисков отдельных опционов являются «греки», выражающие изменение стоимости опциона при небольшом изменении заданной переменной. Эти показатели можно интерпретировать, как чувствительность опциона к изменениям переменной. В качестве переменных выступают цена базового актива, волатильность, время и процентная ставка. Эти величины могут рассматриваться как «факторы риска», вызывающие колебания в стоимости опционов.

«Греки» вычисляются аналитически как частные производные стоимости опциона по заданной переменной. Для нахождения производной используется определенная модель ценообразования (например, формула Блэка−Шоулза). Дельта является производной стоимости опциона по цене базового актива. Производная по волатильности называется вегой, по времени – тетой, по процентной ставке – ро. Применяются также производные второго и более высоких порядков.

«Греки» представляют собой удобный и достаточно адекватный инструмент оценки опционных рисков. Трудности возникают при переходе от отдельных опционов к структурам более высокого порядка. Риски комбинаций, состоящих из опционов на один базовый актив, могут оцениваться с помощью суммирования соответствующих «греков». Однако включение в портфель комбинаций, относящихся к разным базовым активам, делает невозможным оценку некоторых рисков методом простого суммирования. Отдельные «греки», такие как тета и ро, являются аддитивными для опционов на разные базовые активы. Поэтому чувствительность сложного портфеля к временному распаду или к изменению процентной ставки легко определяется как сумма тет или ро входящих в него опционов. Сложнее обстоит дело с более важными показателями риска, не обладающими аддитивными свойствами, такими как дельта и вега. Если портфель состоит из опционов на несколько базовых активов, то суммирование отдельных дельт и вег лишено смысла. Для сложно-структурированных портфелей эти коэффициенты не подходят, поскольку каждый из них выражает изменение стоимости опциона в зависимости от изменений стоимости и волатильности определенного базового актива. Дифференцированный же анализ позиций по отдельным базовым активам малопродуктивен, так как весь портфель должен оцениваться как единая структура.

Одним из возможных путей решения проблемы неаддитивности «греков» может стать выражение дельты каждого опциона как производной по некоторому общему индексу, а не по ценам соответствующих базовых активов. Аналогично вега отдельных опционов может быть выражена как производная по волатильности того же индекса, а не по волатильностям отдельных базовых активов. Такие процедуры позволят придать дельте и веге свойства аддитивности и сделают возможным вычисление показателей риска для всего портфеля в целом. В качестве индекса может использоваться биржевой индекс (например, S&P 500) или любой другой, рассчитанный инвестором самостоятельно (например, на базе цен только тех акций, которые являются базовыми активами для входящих в портфель комбинаций). Выбор индекса представляет собой отдельную сложную задачу, решение которой зависит от степени коррелированности составляющих портфель элементов с тем или иным индексом и многих параметров риск-менеджмента.