Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье

Визуализируем условия задачи в виде таблицы посещаемости стенда:

Обратите внимание на то, что за исключением понедельника каждый день упоминается три раза. Это приводит к двойному учету посетителей четырьмя последними учетчиками во все дни кроме понедельника. Таким образом, мы получаем одно уравнение:

В понедельник стенд посетили 82 человека.

Аманда, Айан, Сара и Эмили выставили своих лягушек для участия в соревнованиях на дальность прыжка на ярмарке. Лягушка Аманды опередила лягушку Эмили, но оказалась не первой. Лягушка Сары проиграла лягушке Аманды, но была не последней. Как распределились места лягушек?

Чаще всего берут четыре фишки, жетона или монеты, наклеивают на них стикер с именем владельца и переставляют этих «лягушек» до тех пор, пока результат не будет удовлетворять условиям задачи.

Эту задачу проще решить с использованием визуального представления. Прежде всего, мы знаем, что лягушка Аманды опередила лягушку Эмили, но была не первой. Обозначим это схематично так:

Лягушка Сары проиграла лягушке Аманды, но была не последней. Продолжив построение схемы, мы получаем следующее распределение мест:

Схема позволила легко увидеть порядок, в котором распределились места.

Из 40 мальчиков в оздоровительном лагере «Кэмп-Уолден» 14 участвовали в заплыве на озере, 13 играли в баскетбол, а 16 ходили в поход. Трое мальчиков играли в баскетбол и участвовали в заплыве. Пять мальчиков участвовали в заплыве и ходили в поход. Восьмеро мальчиков играли в баскетбол и ходили в поход, а двое мальчиков участвовали во всех трех спортивных мероприятиях. Сколько мальчиков в этом лагере не участвовали ни в чем?

Традиционно эту задачу начинают решать путем сложения всех участников спортивных мероприятий с последующим вычитанием повторов. Такая процедура редко бывает успешной.

Попробуем применить для решения задачи визуальное представление. Для наглядного отображения данных используем диаграмму Венна (рис. 8.8).

Область наложения всех трех кругов представляет двоих мальчиков, которые участвовали во всех трех спортивных мероприятиях. Круги показывают следующее:

При сложении этих частей диаграммы Венна мы получаем 8 + 3 + 2 + 1 + 4 + 6 + 5 = 29. В лагере было 40 мальчиков, из которых 29 участвовали в спортивных мероприятиях, а 11 нет.

Сколько целых чисел, цифры которых расположены в порядке возрастания, находится между 4000 и 5000?

К решению этой задачи можно подойти, сообразив, что первой цифрой должна быть 4, а значит, на втором месте может стоять цифра 5, 6 или 7. Цифры 8 и 9 для этого не подходят, поскольку вслед за ними в возрастающем порядке уже ничего не расположишь. В результате таких рассуждений должно получиться следующее: 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589, 4678, 4679, 4689 и 4789.

Чтобы подойти к решению более организованно, воспользуемся схемой, представленной на рис. 8.9, хотя задача по своему характеру не требует никаких рисунков.

Каждый путь, начинающийся от цифры 4, ведет к числу, которое находится в диапазоне между 4000 и 5000. Всего таких путей 10, и они дают следующие числа: 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589, 4678, 4679, 4689 и 4789. Таким образом, мы получаем искомые числа с помощью схемы, построения которой условия задачи не требуют.

У моего брата целая коллекция фигурок двуногих обезьян и четвероногих буйволов. Если в коллекции всего 100 фигурок и в сумме 260 ног, то сколько в ней фигурок каждого вида?

Чаще всего составляют два уравнения и решают их. Обозначим число фигурок обезьян как a, а число фигурок буйволов как b. Тогда мы получаем следующие уравнения:

Умножение первого уравнения на 2 дает:

Если вычесть первое уравнение из второго, то мы получим:

Таким образом, в коллекции 30 буйволов и 70 обезьян.

Воспользуемся визуальным представлением данных (нарисуем схему), чтобы решить задачу. Прежде всего, уменьшим числа в условиях задачи в 10 раз, чтобы ими было легче оперировать (но будем помнить о том, что полученный результат нужно умножить на 10 для восстановления исходного порядка чисел). Итак, теперь у нас всего 26 ног и 10 фигурок. Нарисуем 10 окружностей, которые будут представлять 10 фигурок. Независимо от того, что это за фигурка, обезьяна или буйвол, у нее должно быть не менее двух ног (рис. 8.10).