Занимательная экономика. Теория экономических механизмов от А до Я - Алексей Савватеев

Для решения задачи нужно приравнять к нулю все частные производные функции прибыли по ценам и решить соответствующую систему из n уравнений. Заметим, что цены на товары выбираются независимо друг от друга (то есть ∂pi / ∂pj = 0 при i≠j), а спрос взаимосвязан, поэтому частные производные выручки от продажи i-го товара по j-й цене, рассчитываемые как производные произведения, примут следующий вид:

Каждая такая выручка вносит свой вклад в прибыль, равно как изменение цены pj влияет на спрос, а значит, и на выпуск всех товаров, что в свою очередь дает соответствующую добавку к издержкам. Таким образом, итоговая производная прибыли компании по j-й цене равна

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. И первым из них будет случай независимого спроса и независимых издержек. Это означает, что, во-первых, спрос на i-й товар зависит исключительно от собственной цены и никак не связан с ценами других товаров: ∂Di / ∂pj = 0, а во-вторых, издержки описываются так называемой «сепарабельной функцией»

В этой ситуации задача многопродуктовой монополии распадается на множество задач определения оптимальных цен на отдельные товары и ничем не отличается от случая, рассмотренного в предыдущем параграфе:

Здесь и далее мы будем обозначать как Dj' производную спроса на j-й товар по собственной цене, а TCj' – предельные издержки производства j-го товара.

Небольшие различия в постановках можно найти во второй ситуации – ситуации независимого спроса и связанных издержек. Функция издержек уже не является сепарабельной, и изменение выпуска j-го товара может, например, за счет задействования общих производственных мощностей, трудовых ресурсов либо технологий повлиять на затраты на производство остальных товаров. Это означает, что производная функции прибыли по j-й цене примет вид

и оптимальная цена будет удовлетворять следующему уравнению:

Заметим, что формула совпадает с ее аналогом для однопродуктовой монополии, но с одним отличием: предельные издержки MCj связаны с изменением суммарных издержек по всем товарам при изменении выпуска j-го.

Можно рассмотреть аналог этой модели с немного другой интерпретацией. Двухпериодная вариация под названием «Learning by doing» заключается в том, что издержки производства со временем сокращаются за счет обучения, и чем больше продукции мы произведем в первом периоде, тем ниже будут издержки во втором, то есть ∂TC2 /∂q1