Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье

Второе выражение можно упростить, разбив числа на простые множители следующим образом:

И у Вольфганга, и у Людвига есть целое число евро, причем каждое из них меньше 100. Когда они посчитали свои деньги, оказалось, что три четверти суммы Вольфганга равны двум третям суммы Людвига. Какое максимальное число евро может быть у каждого из них?

Первая реакция — применить алгебраический подход. Мы можем составить одно уравнение с двумя неизвестными. Пусть W представляет количество евро у Вольфганга, а L — количество евро у Людвига. Наше уравнение имеет следующий вид:

Умножим обе части уравнения на 12 и получим: 9W = 8L. Решение уравнения для W дает следующий результат:

Поскольку у каждого из мальчиков по целому числу евро, сумма Людвига должна быть кратной 9, т. е. 9, 18, 27, 36, …, 99. Теперь можно подставить каждое из этих чисел в уравнение и определить количество евро у Людвига. Наибольшее количество евро, которое может иметь Людвиг, составляет 11 × 9, или 99 евро (менее, чем 100). Мы знаем, что суммы Людвига (66 евро) равны суммы Вольфганга. Таким образом, сумма Вольфганга составляет или 88 евро, а сумма Людвига — 99 евро.

Воспользуемся арифметическим подходом и взглянем на задачу с другой точки зрения. Поскольку суммы Вольфганга равны суммы Людвига, найдем эквивалентные дроби с одинаковым числителем:

Если у Вольфганга 8 евро, а у Людвига 9 евро, то части их сумм становятся одинаковыми и равными 6 евро. Поэтому ответ должен быть равен произведению одного и того же множителя на 8 и 9. Таким образом, наибольшая сумма, которую может иметь Людвиг, составляет 11 × 9, или 99 евро, а наибольшая сумма Вольфганга — 11 × 8, или 88 евро.

Ответ можно проверить, определив величину от 88 евро (66) и от 99 евро (66).

На рис. 4.3 ширина прямоугольника AEFK равна AK = 8, а длина AE разделена на четыре части AB = 1, BC = 6, CD = 4 и DE = 2. Чему равна площадь четырех закрашенных треугольников?

Очевидный подход — найти площадь каждого из четырех треугольников и сложить их. Во всех четырех случаях высота треугольника равна ширине прямоугольника AK = 8. Таким образом, площади четырех треугольников составляет:

Сумма этих площадей равна 4 + 24 + 16 + 8 = 52.

Воспользуемся нашей стратегией принятия другой точки зрения на решение задачи. Треугольники имеют одну и ту же высоту, а именно 8. Сумма оснований четырех треугольников равна длине прямоугольника, т. е. 13. Таким образом, площадь четырех закрашенных треугольников равна половине площади прямоугольника, или

Определите, сколько чисел можно составить из цифр от 1 до 9 при условии, что цифры в этих числах должны располагаться в порядке возрастания.

Большинство людей, скорее всего, воспользуются методом проб и ошибок и попытаются выяснить, нет ли здесь какой закономерности, и будут добавлять в список одно число за другим, т. е. сначала однозначные числа, затем двухзначные, трехзначные и т. д. Если выполнить эту работу тщательно, то можно получить правильный ответ, однако такой подход трудоемок.