Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Теперь осталось только собрать следующую фигуру:

и мы получим:

или

.

Если вам нравится заниматься математикой методом «камешков на пляже», вам, возможно, придется по вкусу и следующее интересное развлечение: найдите похожие формулы в своем учебнике по математике, соберите внушительную кучу камешков и отправляйтесь на пляж. Только не забудьте запастись кремом от загара – эти упражнения иногда занимают довольно много времени. Вместе с тем можно развлекаться и иначе: взять ту же кучу камешков и придумывать собственные формулы. Но кроме этого есть, конечно, и самое главное развлечение – пойти на пляж и не делать там ничего!

Теорема Пифагора

Можно ли говорить о Пифагоре и не упомянуть о прославленной теореме, носящей его имя? Разумеется, нельзя. Поэтому я закончу эту главу несколькими историями о теореме Пифагора.

Итак, теорема гласит, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Интересно отметить, что эту теорему знали еще древние египтяне, которые даже использовали пифагоровы треугольники со сторонами 3 – 4 – 5 для построения прямых углов.

Разумеется, всякий, кто учился в школе, способен дать формулировку этой знаменитой теоремы, но многие ли из вас действительно знают почему она справедлива и как ее доказать?

Рассказывают, что, когда философ Томас Гоббс (1588–1679) случайно увидел теорему Пифагора в книге «отца геометрии» Евклида, он был так поражен, что решительно отказался поверить, что это утверждение может быть истинным. В то время Гоббсу было около 40, и до этого момента он не особенно интересовался математикой. Гоббс прочитал доказательство (что совсем не мало для человека, не отличавшегося страстью к геометрическим фигурам) и влюбился в геометрию.

Что же – если Гоббс не желал поверить в истинность теоремы, мне не остается ничего другого, как доказать ее. Собственно говоря, ее доказательств существуют сотни, начиная с самого первого, так поразившего Гоббса в изложении Евклида, и до доказательств с использованием дифференциалов.

Я покажу вам три доказательства, которые мне особенно нравятся, но до этого хочу представить вам доказательство для случая равнобедренного прямоугольного треугольника. Это доказательство настолько просто, что для его изложения хватит и чертежа.

Доказательство № 1 – изящество простоты

Это доказательство я выбрал потому, что оно – одно из самых простых.

Возьмем квадрат со стороной a + b и построим в нем четыре одинаковых прямоугольных треугольника, как показано в левой части представленного ниже чертежа. Теперь расположим те же треугольники по-другому, как показано в правой части. Площадь заштрихованных участков на обоих чертежах должна быть одинаковой, так как она в обоих случаях равна суммарной площади квадрата за вычетом площади четырех треугольников.

Следовательно, a² + b² = c².

Доказательство № 2 – доказательство Гарфилда

Если вы думаете, что автором доказательства теоремы Пифагора был ленивый кот Гарфилд[16], вы ошибаетесь. Это доказательство принадлежит двадцатому президенту Соединенных Штатов Джеймсу А. Гарфилду. Однако, если вы думаете, что между котом Гарфилдом и президентом Гарфилдом нет никакой связи, вы опять ошибаетесь! Создатель кота Гарфилда художник Джим Дэвис назвал его в честь своего дедушки, а дедушку назвали в честь президента Гарфилда.

Вот это доказательство. Посмотрите на трапецию, изображенную на следующем чертеже:

Площадь трапеции равна произведению ее высоты (a + b) на среднее арифметическое длин ее оснований

Вместе с тем трапеция состоит из трех треугольников – I, II и III, – а площадь каждого из треугольников I и II равна

Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180°, легко доказать, что треугольник III прямоугольный. Отсюда вытекает, что площадь треугольника III равна

Следовательно,

Раскрыв скобки в левой части и упростив, получаем в результате a² + b² = c².

Ч. т. д.

Браво, двадцатый президент Соединенных Штатов!

Доказательство № 3 – Пифагор и Леонардо